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\title{Statistische Methoden zur Simulation von spätem Nachhall}
\author{Julian Bernhard}
\institute{{\scriptsize Betreuer}\\ \vspace{2mm} \normalsize Prof. Dr.-Ing. Bernhard U. Seeber}
\date{\scriptsize Lehrstuhl für Mensch-Maschine Kommunikation, Technische Universität München\\ \vspace{.10cm}23 Mai, 2013}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

\begin{frame}
   \titlepage
\end{frame}



\nocite{*}


\section{Motivation}
\begin{frame}
\frametitle{Motivation }

\begin{center}
\begin{overprint}
\onslide<1>
\vspace{-0.6cm}\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}\psfrag{DS}{}\psfrag{er}[lt][LT]{\small \parbox{8cm}{
\textbf{Image Source \& Raytracing:}
\begin{itemize}
\item Exponentiell steigender Rechenaufwand
\item Erschwerte Implementierung von Realzeitanwendungen 
\end{itemize}
\begin{tabular}{lp{7cm}}
\(\rightarrow\) & Verwendung von statistischen Methoden
\end{tabular}
}}\psfrag{lr}[c]{\scriptsize diffuser Hall}
\psfrag{tl}{$t_M$}\psfrag{t}{$t$}
\includegraphics[scale=0.8]{figures/RIR.eps}\\
\onslide<2->
\vspace{-0.6cm}\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}\psfrag{DS}{\scriptsize Direktschall}\psfrag{er}{\scriptsize frühe Reflexionen: \textsl{Image Source \& Raytracing}}\psfrag{lr}[c]{\scriptsize diffuser Hall: \textbf{statistische Methoden}}
\psfrag{tl}{$t_M$}\psfrag{t}{$t$}
\includegraphics[scale=0.8]{figures/RIR_splitup.eps}\\
\end{overprint}
   \vspace{-2mm}
   \textcolor{figblue}{\small Raumimpulsantwort }
   \end{center}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Überblick}
 \tableofcontents
\end{frame}

\section{Einführung}
\subsection{Entstehung von diffusem Hall}
\begin{frame}
\frametitle{Entstehung von diffusem Hall  nach Kuttruff}\hspace{-0.8cm}
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
 \begin{center}
 \includegraphics[scale=0.3]{figures/Diffus.eps} 
 \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
\flushleft \textcolor{figblue}{\small Zeitabhängigkeit der Richtungsdiffusität und der Rückwurfenergien für einen Konzertsaal mit $V=15400\,\text{m}^3$ }
\end{minipage}
\note{Richtungsverteilung und Zeitfolge der Schallrückwürfe in Räumen, Thiel , Acustica: \\ Richtungsdiffusität: im ideal diffusen Feld =1 , reflexionsfreier Raum = 0, Messung mit Schalligel, Messung mit schwenkbarem Richtmikrofon}
\begin{itemize}
 \item Zeitliche Überlappung von Reflexionen höherer Ordnung
 \item Diffuser Hall: Schallfeld ohne Richtungsinformation
\end{itemize}

\end{frame}   



\subsection{Übergang zu diffusem Hall}
\begin{frame}
\frametitle{Übergang zu diffusem Hall (1)}
\vspace{-2mm}
\textbf{Ermittlung der Übergangsfrequenz nach Jot \& Polack}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{figures/Raummoden.eps}\\
\textcolor{figblue}{\small Raummoden }
\end{center}
\vspace{-2mm}
\begin{itemize}
\item<2-> Approximation in rechteckigem Raum:
\begin{itemize}
 \item Raummodendichte $ D_m(f) $ \note[item]{$D_m(f) = 4\pi V\frac{f^2}{c^3}$}
 \item Bandbreite einer Mode $\Delta f$ \note[item]{$\Delta f= \approx \frac{2.2}{T_{60}}$}
\end{itemize}
 \item<3-> Geforderte Überlappung der Raummoden  $\Delta f\cdot D_m(f) \geq 3:1$
\(\rightarrow\) Schröderfrequenz: $f_{\text{Schroeder}} \approx 2000\sqrt{\frac{T_{60}}{V}} \,[\text{Hz}]$
\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Übergang zu diffusem Hall (2)}

\textbf{Definitionen des Übergangszeitpunktes $t_M$ nach Meesawat}
\begin{overprint}
\onslide<1>
\vspace{2mm}
\begin{center}
\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}\psfrag{DS}{\scriptsize Direktschall}\psfrag{er}{\scriptsize frühe Reflexionen}\psfrag{lr}[c]{\scriptsize diffuser Hall}
\psfrag{tl}{$t_M$}\psfrag{t}{$t$}
\includegraphics[scale=0.8]{figures/RIR_splitup.eps}\\
   \textcolor{figblue}{\small Raumimpulsantwort }
   \end{center}


\onslide<2->
\vspace{3mm}
\begin{itemize}
\item<2-> Fester Parameter \note[item]{fester param: $\unit[50]{ms} \leq t_M \leq \unit[80]{ms}$}
\item<2-> Anzahl der Reflexionen \note[item] { anzahl der reflektionen: ab 4ter,\dots ,15ter Ordnung}
\item<3-> Mittlere freie Weglänge $\overline{l} = 4\cdot\frac{V}{S}$ \\
\centering $\rightarrow\; t_M = 4\cdot \frac{\overline{l}}{c}$
\item<4-> Reflexionsdichte $D_e(t) \sim t^2$ \note[item]{$D_e(t)= \approx 4\pi c^3\frac{t^2}{V}\,[1/\text{Hz}]$} \\  \vspace{1mm}
\centering $\rightarrow\;D_e(t_M) \approx 1000/s$ \note[item]{Reflexionsdichte, impulsive Signale: $D_e(t_M) \approx 10000/s$}
\item<5-> Raumvolumen: $t_M \approx \sqrt{V}\,[\text{ms}]$
\end{itemize}
\end{overprint}
\end{frame} 

\note{
Echodichte: Annahme rechteckiger Raum, Schallgeschwindigkeit $c$, Volumen $V$
Raumvolumen: ergibt sich bei 10 Reflexionen innerhalb 24ms = der gehörauflösung entnommen,

 The reverberation problem can be greatly simplified without sacrificing perceptual quality. For example, it can be shown4.3that for typical rooms, the echo density increases as $ t^2$, where $ t$ is time. Therefore, beyond some time, the echo density is so great that it can be modeled as some uniformly sampled stochastic process without loss of perceptual fidelity. In particular, there is no need to explicitly compute multiple echoes per sample of sound. For smoothly decaying late reverb (the desired kind), an appropriate random process sampled at the audio sampling rate will sound equivalent perceptually.

Similarly, it can be shown4.4that the number of resonant modes in any given frequency band increases as frequency squared, so that above some frequency, the modes are so dense that they are perceptually equivalent to a random frequency response generated according to some statistics. In particular, there is no need to explicitly implement resonances so densely packed that the ear cannot hear them all.

In summary, we see that, based on limits of perception, the impulse response of a reverberant room can be divided into two segments. The first segment, called the early reflections, consists of the relatively sparse first echoes in the impulse response. The remainder, called the late reverberation, is so densely populated with echoes that it is best to characterize the response statistically in some way. Section 3.3 discusses methods for simulating early reflections in the reverberation impulse response.

Similarly, the frequency response of a reverberant room can be divided into two segments. The low-frequency interval consists of a relatively sparse distribution of resonant modes, while at higher frequencies the modes are packed so densely that they are best characterized statistically as a random frequency response with certain (regular) statistical properties. Section 3.4 describes methods for synthesizing hiqh quality late reverberation. 

}

\subsection{Statistische Eigenschaften von diffusem Hall}

   
\begin{frame}
\frametitle{Statistische Eigenschaften von diffusem Hall nach Ebeling}
\vspace{-2mm}
\onslide<1->
\begin{block}{experimentelle Bestätigung für eine sinusförmige Anregung}
\begin{itemize}
\item Aufzeichnung von Phase $\theta$ und Amplitude $|A|$
\item Mechanische, räumliche Abtastung des Schallfeldes
\note[item] {unterschiedliche Lautsprecherpositionen für unäbhängige Messungen}
\end{itemize}
\end{block}
\onslide<2->
\vspace{2mm}
\begin{tabular}{cc}
 $p(\theta) = \frac{1}{2\pi}$ & $p(|A|)$:\;  Rayleigh-Verteilung \\
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{figures/statphase.eps} &
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{figures/statampl.eps} \\
\multicolumn{2}{c}{\parbox[t]{1.0\textwidth}{\centering\textcolor{figblue}{\small
 Dichtefunktionen als Histogramme \& analytische Funktionen  }
}}
\end{tabular}

\end{frame}
\note{12 Bit Aufzeichnung, dynamic range of 66dB
\\ Dichtefunktion
\begin{itemize}
\item  als experimentell gemitteltes Histogramm
\item  sowie analytisch berechnet.
\end{itemize}


}

\subsection{Metriken in der Hallsimulation}
\begin{frame}
\frametitle{Metriken zur Abschätzung der Nachhallzeit nach Smith}
\onslide<1->
\textbf{Energy Decay Curve (EDC)}
\begin{itemize}
\item Gesamte Signalenergie der Impulsantwort ab Zeitpunkt $t$
\item $EDC(t_n) = \sum_{m=n}^{M}h^2(m)$

\end{itemize}
\onslide<2->
\vspace{5mm}
\textbf{Energy Decay Relief (EDR)}
\begin{itemize}
\item Erweiterung der EDC auf unterschiedliche Frequenzbänder
\item $EDR(t_n,f_k) = \sum_{m=n}^M|H(m,k)|^2$ \\ \vspace{1mm}

\vspace{1mm}
$H(m,k)$: Short-Time-Fourier-Transformation
\end{itemize}

\end{frame}


\section{Hybride Methoden zur Hallsimulation}
\frame{\frametitle{Überblick}
\tableofcontents[currentsection]}

\begin{frame}
\frametitle{Hybride Hallsimulation nach Lehmann \& Meesawat (1)}
\vspace{-4mm}
\begin{block}{Ansatz}
\begin{itemize}
  \item Rechenintensive Image-Source Methode für frühe Reflexionen
  \item Statistische Simulation für diffusen Hall \\
   \( \rightarrow\) Geringere Empfindlichkeit des Gehörs  
\end{itemize}
\end{block}
\vspace{3mm}
\begin{overprint}
\onslide<1>
\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}
\psfrag{DS}{\scriptsize Direktschall}
\psfrag{er}{\scriptsize frühe Reflexionen: \textsl{Image Source \& Raytracing}}
\psfrag{lr}[c]{\scriptsize diffuser Hall: \textsl{statistische Methoden}}
\psfrag{tl}{$t_M$}
\psfrag{t}{$t$}
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{figures/RIR_splitup.eps} 
\onslide<2>
\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}
\psfrag{tl}{$t_M$}
\psfrag{t}{$t$}
\psfrag{w}[cb]{\parbox{4cm}{\small \centering \textbf{Realisierung des Übergangs?}}}
\psfrag{q}[cC][cC]{\small ?}
\centering
\includegraphics[scale=0.7]{figures/RIR_splitup_hybrid.eps} 

\end{overprint}

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Hybride Hallsimulation nach Lehmann \& Meesawat (2) }
\textbf{Ansätze zur Verbindung beider Hallanteile}
\begin{itemize}
\item<1-> Aneinanderreihung bei hohem $t_M$ \note[item]{Anneinanderreihung: Image-Source Simulation teilweise innerhalb des diffusen Halls}
\item<3-> Crossfading bei niedrigem $t_M$
\end{itemize}

\begin{overprint}

\onslide<1>
\centering
\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}
\psfrag{tl}{$t_M$}
\psfrag{t}{$t$}
\psfrag{w}[cb]{}
\includegraphics[scale=0.7]{figures/RIR_splitup_hybrid_early.eps} 
\onslide<2>
\centering
\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}
\psfrag{tl}{$t_M$}
\psfrag{t}{$t$}
\psfrag{w}[cb]{\parbox{4cm}{\small \centering abrupter Übergang}}
\includegraphics[scale=0.7]{figures/RIR_splitup_hybrid_concat.eps} 
\onslide<3>
\centering
\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}
\psfrag{tl}{$t_M$}
\psfrag{t}{$t$}
\psfrag{w}[cb]{}
\includegraphics[scale=0.7]{figures/RIR_splitup_hybrid_early.eps} 
\onslide<4>
\centering
\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}
\psfrag{tl}{$t_M$}
\psfrag{t}{$t$}
\psfrag{w}[cb]{\parbox{4cm}{\small \centering Fensterung der frühen Reflexionen}}
\includegraphics[scale=0.7]{figures/RIR_splitup_hybrid_windowed_early.eps} 
\onslide<5>
\centering
\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}
\psfrag{tl}{$t_M$}
\psfrag{t}{$t$}
\psfrag{w}[cb]{}
\includegraphics[scale=0.7]{figures/RIR_splitup_hybrid_late.eps} 
\onslide<6>
\centering
\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}
\psfrag{tl}{$t_M$}
\psfrag{t}{$t$}
\psfrag{w}[cb]{\parbox{4cm}{\small \centering Fensterung des diffusen Halls}}
\includegraphics[scale=0.7]{figures/RIR_splitup_hybrid_windowed_full.eps} 
\end{overprint}

\end{frame}

\section{Statistische Methoden in der Hallsimulation}
\subsection{Verwendung von exponentiell abklingender spektraler Energiedichte}
\frame{\frametitle{Überblick}
\tableofcontents[currentsection,currentsubsection]}
\begin{frame}
\frametitle{Verwendung von exponentiell abklingender spektraler Energiedichte (1)}
\vspace{-4mm}
\begin{block}{Prinzip nach Jot \& Barron}
Exponentiell abklingende, spektrale Energiedichte
 \\ \centering $ E(t,f) = \frac{E_i(f)}{V}\cdot e^{-2\delta(f)\cdot t} $
 \end{block}
 \begin{itemize}
  \item Anfangsenergie $E_i(f)$
  \item Dämpfungsfaktor $\delta(f)$: \[ 20\log_{10}(e^{-\delta(f) T_{60}(f)}) = -\unit[60]{dB}\]
  \item Gültigkeit nach Eintreffen des Direktschalls: \\$t =  \tau+ r/c$\qquad ($r$: Abstand Quelle-Empfänger)
 \end{itemize}



\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Verwendung von exponentiell abklingender spektraler Energiedichte (2)}
\textbf{Entwicklung des Modells:}
\begin{enumerate}
\item<1-> Berechnung der mittleren reflektierten Energiedichte:\note[item]{mittlere reflektierte Energie = Level des Reverbs bei Frequenz zu bestimmtem Zeitpunkt}
\begin{overprint}
\onslide<1>
	\begin{flalign*} &E(\tau,f) = \int_{t_0=\tau+r/c}^{\infty}E(t,f)\mathrm{d}t& \end{flalign*}  

   \onslide<2>
   \begin{flalign*} &E(\tau,f) = \int_{t_0=\tau+r/c}^{\infty}\alert<2>{\underbrace{E(t,f)}_{\frac{E_i(f)}{V} e^{-2\delta(f)\cdot t}}}\mathrm{d}t& \end{flalign*}  
   \onslide<3->
   \begin{flalign*} &E(\tau,f) = \int_{t_0=\tau+r/c}^{\infty}\underbrace{E(t,f)}_{\frac{E_i(f)}{V} e^{-2\delta(f)\cdot t}}\mathrm{d}t = \alert<3>{\frac{1}{2\delta(f)} \frac{E_i(f)}{V} e^{-2\delta(f)(\tau+r/c)}}& \end{flalign*}  
    
\end{overprint}
\item<4-> Modellierung des Raums:\begin{itemize}
    \item Frequenzabhängige Nachhallzeit $T_{60}(f)$
    \item Raumvolumen $V$
    \item Abstand der Quelle vom Empfänger $r$
\end{itemize} 
\end{enumerate}
\onslide<5>$\rightarrow$ Geringer Implementierungsaufwand \\
$\rightarrow$ Geringe Möglichkeiten zur Raummodellierung 

\end{frame}



\subsection{Verwendung einer approximierten Energy-Decay-Curve}
\frame{\frametitle{Überblick}
\tableofcontents[currentsection,currentsubsection]}
\begin{frame}
\frametitle{Verwendung einer approximierten Energy-Decay-Curve }
\vspace{-3mm}
\begin{block}{Prinzip nach Lehmann}
\begin{itemize}
\item Closed-Form Berechnung der EDC 
\item Modellierung des diffusen Halls durch Samples einer statistischen Verteilung
\item Abklingen der Sampleenergie gemäß der vorhergesagten EDC 
\end{itemize}
\end{block}

\begin{overprint}
\onslide<1>
\centering
\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}
\psfrag{tl}{$t_M$}
\psfrag{t}{$t$}
\includegraphics[scale=0.7]{figures/RIR_splitup_prediction1.eps}
\onslide<2>
\centering
\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}
\psfrag{tl}{$t_M$}
\psfrag{t}{$t$}
\psfrag{lr}[cb]{\parbox{5cm}{\centering Modellierung des diffusen Halls durch Samples eines abklingenden Rauschens}}
\includegraphics[scale=0.7]{figures/RIR_splitup_prediction2.eps}
\end{overprint}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Verwendung einer approximierten EDC (2)}
\vspace{-2mm}
\textbf{Approximation der EDC }\\
\begin{minipage}{0.55\textwidth}
\begin{itemize}
\item<1-> Annahme
 \begin{itemize}
               \item Rechteckiger Raum
               \item Quelle zentral
               \item Hohe Reflexionsordnung
\end{itemize} 
\item<2-> $\rho = ct$
\item<2-> $W_x( \vartheta,\rho) $ \& $W_y(\vartheta,\rho)$: Anzahl der Reflexionen in jeweilige Raumrichtung
\end{itemize}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\includegraphics[scale = 0.55]{figures/prediction_EDC.eps}
\end{minipage}
\begin{overprint}
\onslide<3>
$\rightarrow$ Leistungsbeitrag einer bestimmten Quelle im Abstand $\rho = ct$ und Winkel $\vartheta$:
\[P(\rho,\vartheta) = \frac{(\beta_{x,1}^2)^{\frac{W_x}{2}}(\beta_{x,2}^2)^{\frac{W_x}{2}}(\beta_{y,1}^2)^{\frac{W_y}{2}}(\beta_{y,2}^2)^{\frac{W_y}{2}}}{(4\pi\rho)^2}\]
\onslide<4>
$\rightarrow$ Berechnung der Leistungs-RIR $h_P(t)$ mittels Integration über alle Spiegelquellen $N_S$ im Abstand $\rho =c\cdot t$:
\vspace{-3mm}
				 \[h_P(t) = \frac{1}{\Delta \vartheta}\int_0^{2\pi}P(\rho,\vartheta)\mathrm{d}\vartheta\;,\:\:\:\: \Delta\vartheta = \frac{2\pi}{N_S}\]
\onslide<5>
\vspace{5mm}
\centering
 $\rightarrow$ analytische Lösung zur Berechnung der EDC
\end{overprint}

\end{frame}


\begin{frame}
\frametitle{Verwendung einer approximierten EDC (2)}
\vspace{-2mm}
\textbf{Simulation des diffusen Halls}
\begin{center}
\psfrag{dB}[c]{\scriptsize $I$[dB]}
\psfrag{tl}{$t_M$}
\psfrag{t}{$t$}
\psfrag{lr}[cb]{\parbox{5.5cm}{\centering $h(t)=n(t)\cdot\sqrt{\frac{h_P(t)}{\lambda}},\:\: t>t_M$}}
\psfrag{T}[cC]{}
\includegraphics[scale=0.6]{figures/RIR_splitup_prediction3.eps} 
\end{center}
\vspace{-4mm}
\begin{itemize}
\item Gaußsche / logistische Verteilung $n(t)$
\item Normalisierungsparameter $\lambda$
 \note[item]{Normalisierungsparameter $\lambda$: energetische Anpassung der statistischen Simulation an die simulierten frühen Reflexionen }
\end{itemize}
\vspace{-1mm}
\begin{tabular}{lp{9cm}}
\onslide<2>
$\rightarrow$ &  nach Evaluation mit Probanden: kaum Artefakte bei Übergang zwischen Algorithmen feststellbar\\
$\rightarrow$ & (noch) keine Simulation der Frequenzäbhängigkeit
\end{tabular}

 \end{frame}
 

 
\section{Zusammenfassung}
\begin{frame}
\frametitle{Zusammenfassung}
\onslide<1->
\textbf{Grundlagen der statistischen Hallsimulation}
\begin{itemize}
\item Übergang von frühen Reflexionen zu diffusem Hall
\item Statistische Eigenschaften von diffusem Hall
\item Prinzip hybrider Hallsimulation
\end{itemize}
\onslide<2->
\textbf{Methoden der statistischen Hallsimulation}
\begin{itemize}
\item Verwendung von exponentiell abklingender spektraler Energie
\begin{itemize}
    \item Vorteil: frequenzabhängige Berechnung
    \item Nachteil: nur sehr geringe Modellierung der Geometrie möglich
\end{itemize}
\onslide<3->
\item Verwendung einer approximierten  Energy-Decay-Curve
\begin{itemize}
\item Nachteil: (noch) keine Modellierung der frequenzabhängigen Reflexion
\item Vorteil: Einbeziehen der Raumgeometrie in die Berechnung
\end{itemize}

\end{itemize}
\end{frame}



\appendix

\begin{frame}[shrink]
	\frametitle{Literaturverzeichnis}
  \tiny \bibliographystyle{plain}
	\bibliography{jube88}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{statistische Eigenschaften von diffusem Hall (1) }
\begin{block}{Beispiel: Anregung mit Sinuswelle}
Komplexer Schalldruck innerhalb des Raums $U(x,y,z,t)=A(x,y,z)\cdot e^{-2\pi ift}$
 	\\$\rightarrow$ Bestimmung von $A(x,y,z)$: Komplexe ortsabhängige Amplitude
\end{block}
\textbf{Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung:}
\begin{overprint}
\onslide<1-2>\begin{enumerate}
\item<1-2> $f>f_{\text{Schroeder}}$: $A(x,y,z)\,\widehat{=}$ zufällige Interferenz vieler Eigenmoden \\ 
\item<2> zentraler Grenzwertsatz der Statistik: normalverteilte unabhängige Real- und Imaginärteile von $A(x,y,z)$ 
\[\rightarrow\: p(A_r,A_i)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\exp\left(-\frac{A_r^2+A_i^2}{2\sigma^2}\right)\] \end{enumerate}
\onslide<3-4>
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
\item<3-4> Amplitude $|A| = \sqrt{A_r^2+A_i^2}$ und Phase $\theta = \arctan \frac{A_i}{A_r}$
\item<4> 2-dimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung:
\note[item]{Zufallsvariable Transformation: $ g(y) = f(x(y))|\frac{dx}{dy}|$}
 \[p(|A|,\theta) = \frac{|A|}{2\pi \sigma^2}\exp\left(-\frac{|A|^2}{2\sigma^2}\right)\:\xrightarrow{\text{Integration}}\:\begin{array}{ll}
  p(\theta) = \frac{1}{2\pi} \\
  p(|A|):\; \text{\parbox[t]{2cm}{\small Rayleigh-\\Verteilung}}
 \end{array}
 \]
\end{enumerate}
\end{overprint}


\end{frame}
   \note{ zentraler Grenzwertsatz der Statistik: Summe unabhängiger Zufallsvariablen 
   der gleichen Verteilung ergibt eine Gaußförmige Summenverteilung 
   
   
   }


\end{document}
